Aunque existe un amplio consenso en la importancia de la resolución de problemas, no ocurre igual con lo que dichas palabras significan. En el ámbito de las matemáti- cas, se entiende la resolución de problemas matemáticos (RPM) como la interpreta- ción de una información dada y el análisis de los datos para alcanzar una respuesta aceptable o al menos afianzar las bases para una o más alternativas posibles (Cawley y Miller, 1986).

Para Orton (1990), la resolución de problemas consiste en que el alumno sepa utilizar los procedimientos, reglas, técnicas, destrezas y conceptos que ha adquirido anteriormente, de tal forma que de la combinación acertada de estos se obtengan soluciones para nuevos problemas o situaciones.

La resolución de problemas surge a finales de la década de 1970, pero el evento decisivo para el lanzamiento de este movimiento como uno de los aspectos centrales de la enseñanza de las matemáticas es la aparición de dos publicaciones del National Council of Teachers of Mathematics en 1980 (NCTM, 1980 a y b), publicaciones que se fraguan en Cincinnati (EE. UU.) en el año 1977, en una reunión de más de
55 educadores de matemáticas en la que se señala que «la resolución de problemas debe ser el principal objetivo de la enseñanza de las matemáticas en la década de los ochenta» (NCTM, 1980 b).

En la década de 1950 se hablaba de «revolution in mathematics» (revolución en matemáticas), en la de 1960 se utilizaba el término «modern math» (matemáticas modernas), en la de 1970 «back to basics» (volver a lo básico) y en la de 1980 aparece «problem solving» (resolución de problemas). Pero este término para muchos autores no es una simple frase, sino la razón para la enseñanza de las matemáticas. Es una de las habilidades básicas que deben ser enseñadas a todas las personas, y que estas deben tener y seguir usando a lo largo de sus vidas (Blanco, 1993).

Si bien este es el origen del movimiento a favor de la RPM, no es menos cierto que el significado de la expresión ha variado y sigue variando hacia nuevas consideraciones.

Actualmente, la RPM dentro de la educación matemática contempla tres dimensiones distintas (Juidías y Rodríguez, 2007). Es considerada como un objetivo principal, ya que aprender matemáticas está ligado a que el alumno sea capaz de resolver problemas. A su vez, la RPM es un contenido, pues el individuo debe aprender técnicas, estrategias, maneras de descubrir o investigar que son propias de dicha investigación. Y, por último, la RPM es una metodología basada en la concepción constructivista del aprendizaje, es decir, aquellos conocimientos construidos por los propios alumnos son realmente operativos, duraderos y generalizables a diferentes contextos. Por el contrario, los conocimientos que simplemente se transmiten a los alumnos, no construidos por ellos, no quedan integrados en sus estructuras lógicas y solo pueden aplicarlos en situaciones similares a las del aprendizaje

Desde la triple dimensión de la RPM, se han elaborado diferentes modelos. El modelo más clásico y conocido es el de Polya (1945), todavía vigente y que consta de cuatro etapas que son: comprensión del tema, planificación, ejecución del plan y supervisión. La gran mayoría de los modelos que se han elaborado posteriormente guardan estrecha relación con el modelo de Polya y sus etapas. Unos significativos cuadros resumen de las etapas que plantean los diferentes autores y su semejanza con el modelo Polya podemos encontrarlos en la recopilación que hacen Juidías y Rodríguez (2007) y Pino y Blanco (2008).

1. Las etapas de resolución de problemas se refieren, en primer lugar, a que el alumno comprenda el tema como requisito principal antes de actuar. Para Mayer (1991), esto consiste en mudar cada oración a una representación mental para posteriormente integrar esta información en un esquema coherente.

2. En la siguiente etapa, la planificación, el alumno aprende a razonar cuáles son las ideas o procesos lógicos que le llevan a la solución, para ello examina las estrategias generales que puede aplicar y elige las acciones que debe realizar.

3. Después, en la ejecución del plan organizado en la etapa anterior, se traducen las ideas en términos de operaciones mediante las que se obtiene la solución o las soluciones.

4. La última etapa sería la supervisión en la que se evalúan las decisiones tomadas y los resultados del plan realizado, por ejemplo, se comprueba que la solución es coherente y lógica para el problema planteado.

El modelo de Polya y todos los modelos propuestos posteriormente nos confirman la similitud entre la organización de las actividades humanas y la resolución de problemas. En ambos casos encontramos dificultades que superar, tomamos decisiones mediante las que encontramos caminos intermedios que nos van acercando a nuestro objetivo, es decir, se alcanzan los fines buscados mediante una planificación teniendo en cuenta los recursos que tenemos a nuestro alcance.

Así pues, la educación matemática, mediante la resolución de problemas, es la mejor forma de desarrollar en los individuos capacidades en las que sepa responder a situaciones con cierta flexibilidad, aprender a sacar partido de circunstancias imprevistas, saber encontrar semejanzas entre situaciones que aparentemente no son parecidas y realizar síntesis de antiguos conceptos que den lugar a nuevas ideas e hipótesis de planteamientos (Barrantes y Zapata, 2010).

La resolución de problemas como metodología ha sido recomendada desde los años noventa del siglo XX como la metodología de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas de los currículos oficiales: autonómicos, nacionales y de otros países. Los actuales planes de estudios universitarios (Plan Bolonia) también utilizan esta metodología.

Concretamente, el actual currículo en Extremadura de la Educación Primaria dice:«Los procesos de resolución de problemas constituyen uno de los ejes principales de la actividad matemática y deben ser fuente y soporte principal del aprendizaje matemático a lo largo de la etapa, puesto que constituyen la piedra angular de la educación matemática» (Currículo de Educación Primaria, 2007, p. 7.909).

El proceso de enseñanza y aprendizaje en la educación matemática debe tener como primera actividad la manipulación de los objetos y elementos, acompañada de la verbalización, que descubre el porqué de esa manera de proceder, para pasar por último a la representación gráfica y simbólica, que acerca a la generalización, el aprendizaje conceptual y la aplicación a situaciones diferentes.

La propuesta metodológica aúna aspectos básicos de algunas teorías sobre aprendizaje, principalmente el constructivismo, y un aspecto esencial en el desarrollo matemático como es la resolución de problemas. En pocas palabras, el proceso de construcción del conocimiento matemático debe utilizar como punto de partida la propia experiencia práctica de los alumnos (de lo concreto a lo abstracto), y que la forma en la que se ha generado el conocimiento matemático, a través de la historia, ha sido la resolución de problemas.

La RPM, como eje vertebrador, da lugar a que el alumno desarrolle muchas de las capacidades básicas necesarias para su formación como son: leer comprendiendo, reflexionar, planificar de forma abierta, realizar modificaciones según avanza hacia la solución, comprobar y analizar la viabilidad de la solución hasta la obtención definitiva de los resultados. Esta metodología permitiría a los alumnos realizar investigaciones sobre situaciones cotidianas y sobre ideas matemáticas utilizando instrumentos matemáticos (conceptos o procesos). Identificar y desarrollar modelos, usar experiencias y observaciones para hacer conjeturas, conocer hechos y argumentos lógicos para validar las mismas los ayuda a matematizar situaciones de su vida y utilizar representaciones matemáticas de las mismas (gráficos, tablas, diagramas…).

La resolución de problemas hace que el alumno desarrolle el dominio de estrategias básicas de cómputo, de cálculo mental, de estimaciones de resultados y de medidas, y utilice de forma eficaz la calculadora y el ordenador. El alumno adquirirá una actitud positiva y valorará y comprenderá la utilidad de las herramientas matemáticas, experimentando satisfacción por su uso, ya que estas le posibilitan organizar y comprender la información que le hace conocer la realidad de una forma más plena, pues nos basamos en un aprendizaje globalizador.

Generalmente, la adquisición de los nuevos conocimientos pone al alumno en estados de duda y desequilibrio con respecto a los antiguos conocimientos. La reorganización de los conocimientos formando una red compacta entre antiguos y nuevos conocimientos, mediante la asimilación y la acomodación de estos, produce el verdadero aprendizaje significativo. Este aprendizaje ya no es memorístico, sino basado en la construcción, en el equivocarse, en volver a empezar e ir mejorando paso a paso lo realizado, pero comprendiendo lo que se va haciendo.

En resumen, el sistema educativo plantea una matemática para todos, en la que se potencien los valores sociales y se tengan en cuenta los avances tecnológicos y científicos, y se supriman los contenidos y cálculos innecesarios, prestando más atención a que el alumno domine los conceptos y sepa aplicarlos que al mero desarrollo de los algoritmos. La base para que esto se lleve a buen término es la metodología de resolución de problemas.

Barrantes, M. y Zapata, M. (2010), «Los problemas
aritméticos y su tratamiento didáctico
», Campo Abierto, 29, n.º 1, pp. 77- 95.

Blanco, L. J. (1993), Consideraciones elementales
sobre la resolución de problemas,
Badajoz: Universitas editorial.

Cawley, J. F. y Miller, J. H. (1986), «Selected
views on metacognition, arithmetic problema
solving, and learning disabilities»,
en Learning Disabilities Focus, 2 (1), pp.
36-48.

Juidías, J. y Rodríguez, I. R. (2007), «Dificultades
de aprendizaje e intervención psicopedagógica
en la resolución de problemas
matemáticos», Revista de Educación,
342, pp. 257-286.

Mayer, R. E. (1991), Thinking, problem solving,
cognition, New York: Freeman.

NCTM (1980 a), Problem solving in school
mathematics, Virginia: Yearbook.

NCTM (1980 b), Agenda for action. Recommendations
for school Mathematics of
the 1980, Virginia: Yearbook.

Orton, A. (1990), Didáctica de las matemáticas,
Madrid: Morata, MEC.

Pino, J. y Blanco, L. J. (2008): «Análisis de
algunos métodos que emplean los estudiantes
al resolver problemas matemáticos
con varias formas de solución», Publicaciones,
38, pp. 63-88.

Polya, G. (1945), How to solve it, Princenton,
N. J.: Princenton University Press.